Roger Penrose, 8 Ağustos 1931'de doğdu. Genel göreliliği benim için yalnızca bir fizik teorisi olmaktan çıkarıp geometri, topoloji ve simetriler üzerinden düşünmeye başlamamı sağlayan isimlerden biri.

Penrose'un matematik kökeni bunda oldukça belirgin. UCL'de matematik okudu, Cambridge'te cebirsel geometri üzerine doktora yaptı ^[1]. 1965'te yayımladığı Gravitational Collapse and Space-Time Singularities makalesinde ise belirli bir kara delik çözümüne bağlı kalmadan, nedensellik ve global geometri üzerinden kütleçekimsel çökmenin belirli koşullarda jeodezik eksikliğe yol açacağını gösterdi ^[2]. Bu çalışma 2020 Nobel Fizik Ödülü'nün yarısını Penrose'a kazandırdı ^[3].

Penrose Diyagramları

İlk Penrose diyagramını gördüğümde aklıma genel görelilikten önce kompleks analiz ve Riemann küresi gelmişti. Riemann küresinde sonsuzu tek bir nokta ekleyerek geometrinin içine alıyoruz; Penrose'un konformal kompaktifikasyonunda ise benzer biçimde uzay-zamanın sonsuzunu sonlu bir diyagram üzerinde inceleyebiliyoruz:

\[\tilde{g}_{ab}=\Omega^2g_{ab}\]

Fakat uzay-zamanda nedensel yapı olduğu için sonsuzluk tek bir nokta değil; \(\mathscr{I}^\pm\), \(i^\pm\) ve \(i^0\) gibi farklı parçalara ayrılıyor ^[4], ^[5]. Bu fikir, “sonsuzluk” kavramını benim için soyut olmaktan çıkarıp üzerinde geometrik olarak çalışılabilecek bir nesneye dönüştürdü.

Tuzaklanmış Yüzeyler

Penrose'un tekillik teoreminde benim en hoşuma giden nokta, özel bir simetriye ihtiyaç duymaması. Yeterince güçlü bir kütleçekimsel çöküşte bir yüzeyden çıkan iki null ışın ailesinin de genişlemesi negatif olabilir:

\[\theta_k < 0,\qquad\theta_l < 0.\]

Bu trapped surface fikri ve Raychaudhuri denklemi, uygun koşullarda null jeodezik eksikliğine götürüyor ^[2], ^[6]. Tekilliği yalnızca “eğriliğin sonsuza gitmesi” olarak değil, uzay-zamanın global geometrisinin bir sonucu olarak düşünmeye başlamam da burada oldu.

Penrose'tan Lineerleşme Kararsızlığına

Global geometri ve tutarlılık üzerine bu merak daha sonra beni Prof. Dr. Bayram Tekin'in çalışmalarına götürdü. Deser ve Tekin'in kütleçekim teorilerindeki enerji ve korunum yükleri üzerine çalışmalarını okurken ^[7], ^[8] linearization instability kavramıyla karşılaştım.

Buradaki fikir: bir arka plan çözümü etrafında lineerize ettiğimiz

\[g=g_0+h\]

pertürbasyonlarının her biri mutlaka tam non-lineer teoride gerçek bir çözüm ailesine karşılık gelmeyebilir. Prof. Dr. Bayram Tekin ve Emel Altaş'ın çalışmalarında Taub yüklerinin bu noktada bir integrabilite koşulu olarak ortaya çıkması özellikle ilgimi çekti ^[9], ^[10].

Penrose diyagramlarından lineerleşme kararsızlığına uzanan bu çizgide beni çeken şey aslında aynı: yerel olarak doğru görünen denklemler her zaman yeterli değil; global geometri ve daha yüksek mertebedeki tutarlılık bize ek koşullar dayatabiliyor.

Genel göreliliği bu kadar sevmemin nedenlerinden biri de tam olarak bu.

95 yıllık hayatına tekillik teoremlerinden konformal geometriye, twistor teorisinden kara delik fiziğine kadar modern matematiksel fiziğin yönünü değiştiren fikirler sığdırdı. Benim içinse çok daha kişisel bir yerde duruyor: hayatım boyunca çalışmak için can attığım alanla beni tanıştırdı ve bana farklı bir bakış açısı kazandırdı.

Sir Roger Penrose, iyi ki doğdun.

---

Kaynakça

1. University of Cambridge (2020). Roger Penrose wins 2020 Nobel Prize in Physics for discovery about black holes.
2. Penrose, R. (1965). Gravitational Collapse and Space-Time Singularities. Physical Review Letters, 14, 57–59.
3. The Nobel Prize in Physics 2020. NobelPrize.org.
4. Penrose, R. (1964). Conformal treatment of infinity.
5. Hawking, S. W., & Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time.
6. Senovilla, J. M. M., & Garfinkle, D. (2015). The 1965 Penrose singularity theorem.
7. Deser, S., & Tekin, B. (2002). Gravitational Energy in Quadratic Curvature Gravities.
8. Deser, S., & Tekin, B. (2003). Energy in Generic Higher Curvature Gravity Theories.
9. Altaş, E., & Tekin, B. (2018). Linearization instability for generic gravity in AdS spacetime.
10. Altaş, E., & Tekin, B. (2019). Second order perturbation theory in general relativity: Taub charges as integral constraints.

Son günlerde özellikle sosyal medyada ve matematik mecralarında karşımıza çıkan, sayfalarımıza düşen o büyük haberi biraz yakından incelemek istedim. Cebirsel geometride 1939'dan beri kimsenin bükemediği ve çözmek için verilen sayısız hatalı kanıtla meşhur olan Jacobian Sanısı (Jacobian Conjecture), 20 Temmuz 2026'da tarihi bir kırılma yaşadı ^{[1, 2]}. Matematikçi ve Anthropic araştırmacısı Levent Alpöge, dünya kupası finalinin oynandığı akşam, 3 boyutlu uzay ($n=3$) için sanıyı yanlışlayan somut bir karşıt örneği bizimle paylaştı ve bunu resmi bir makale yerine, kısa bir X (Twitter) gönderisiyle duyurdu ^[3].

Keşfin Arka Planı

Beni bu olayda en heyecanlandıran şeylerden biri Alpöge'nin bunu yaparken Anthropic'in yeni nesil büyük dil modeli Claude Fable 5 kullanması oldu. ^[3]. Yapay zekanın son dönemlerde çözülemeyen matematik problemleri üzerinde çalıştığını ve bazılarından güzel sonuçlar elde ettiğimizi biliyorduk. Ve Jacobian Sanısı gibi bir soruya, derece ve terim sayısı açısından bir insanın elle hesaplamasının imkansız olduğu 3 boyutlu bir polinom sisteminde, Jacobian determinantı sabit çıkan ama tersi asla polinom olmayan o "yıkıcı" yapıyı bulmayı başardılar ^[3].

Peki Şimdi Ne Olacak?

Alpöge'nin $n=3$ boyutunda getirdiği bu karşıt örnek işi tabii ki de bitirmedi, aksine işleri daha da kızıştırdı:

• 2-Boyutlu ($n=2$) Durum Hala Bir Muamma: Literatürde 2-değişkenli durum ile genel $n$-değişkenli durum hep ayrı kulvarlarda değerlendiriliyordu ^{[1, 4]}. Alpöge $n=3$'ü çökertti ama $n=2$ durumu hala çözülmemiş durumda ve araştırmacıların yeni gözdesi olmaya aday ^[3].
• Dixmier Sanısı: Bu mesele sadece cebirsel geometriyi değil, kuantum mekaniği ve cebirsel yapılarda devasa yeri olan Dixmier Sanısı ile de denk kabul ediliyordu ^{[4, 5]}. $n=3$'ün yanlışlanması, bu denk yapılar üzerindeki eski kabullerin de yeniden masaya yatırılmasına yol açacak gibi duruyor ^[4].
• Hakem Kontrolü Süreci Henüz Tamamlanmadı: Şunu da belirtmek gerekiyor ki bu, resmi olarak hakemli bir dergide yayımlanmış bir sonuç değil. Matematikçiler şu ana kadar gösterilen sembolik hesaplamaları bağımsız olarak halka açık şekilde tekrar ürettiler, hatta örnek saatler içinde Lean kanıt-doğrulama dilinde makine tarafından doğrulandı ki bu da haritanın doğruluğunu güçlü şekilde destekliyor ama klasik hakemlik süreci ve resmi bir makale henüz ortaya çıkmadı ^[3].

Bütün bu heyecanlı gelişmeler bir yana bu açıklama Leiden Bildirisi bazında nerede duruyor?

Bu noktada bence işin en tartışmalı ve düşündürücü kısmına geliyoruz. Alpöge'nin sonucundan sadece birkaç hafta önce, 2 Haziran 2026'da, 15 üniversiteden 16 araştırmacı "Leiden Bildirisi: Yapay Zeka ve Matematik" (Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics) adlı bir metin yayımladı ve bu bildiri Uluslararası Matematik Birliği (IMU) tarafından da resmen desteklendi ^[6]. Bildiri, kökenini Eylül 2025'te Leiden Üniversitesi'ndeki Lorentz Center'da düzenlenen bir çalıştaydan alıyor ve matematikte doğrulanabilirlik, atıf/şeffaflık, araştırma özerkliği, finansman ve eşitsiz erişim gibi konularda somut çağrılarda bulunuyor ^[6].

Peki Alpöge'nin bu sonucu bildirinin savunduğu değerlerle nasıl bir ilişki içinde? Bence burada işin iki yüzü var, ve burada sizin görüşlerinizi de açıkçası merak ediyorum:

• Şeffaflık açısından olumlu bir örnek sayılabilir: Alpöge, X gönderisinde Claude Fable 5'i açıkça "ortak keşifçi" olarak kredilendirdi ve Wolfram Alpha üzerinden doğrulama bağlantıları paylaştı. Bu, bildirinin ısrarla talep ettiği "AI araç kullanımının açık şekilde beyan edilmesi" ilkesiyle örtüşüyor.
• Ama süreç açısından bildirinin endişelerini de doğruluyor olabilir: Sonuç, akademik bir dergide değil sosyal medyada, bir yapay zeka şirketinin (Anthropic) kendi araştırmacısı tarafından, klasik hakemlik süreci tamamlanmadan duyuruldu. Bildirinin altını çizdiği "kim sorumlu, kim itibar sahibi olacak, ve araştırma gündemi giderek teknoloji şirketlerinin ticari çıkarlarınca mı şekillenecek" sorularının tam da örneklendiği bir vaka olarak da okunabilir.
• Hız meselesi de tartışmaya açık: Doğrulamanın saatler içinde gerçekleşmesi bir yandan güven verici, diğer yandan da bildirinin uyardığı gibi "hakem sistemlerinin güvenilmez argümanlarla boğulma" riskine örnek teşkil edip etmediği tartışılabilir bir konu.

Bence bu, hem heyecan verici bir matematiksel başarı hem de geleneksel yöntemleri bıraktığımızın bir göstergesi.

Konuyla ilgili Levent Alpöge'nin kişisel sayfasını, Leiden Bildirgesi'nin orijinal metnini ve Türk Matematik Derneği'nin Türkçe çevirisini aşağıda bulabilirsiniz: